Версия для печати
Убрать все задачи

---

За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые каждого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что каждые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.

   Решение

---

Докажите, что при любом a имеет место неравенство:   3(1 + a² + a⁴) ≥ (1 + a + a²)².

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97921  (#1)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Докажите, что при любом a имеет место неравенство:   3(1 + a² + a⁴) ≥ (1 + a + a²)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108022  (#2)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97923  (#3)

Темы:   [ Инварианты ] [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97924  (#4)

Тема:   [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Кафельная плитка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 1 дм и 2 дм. Можно ли из 20 таких плиток сложить квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями