Страница:
<< 1 2 3
4 >> [Всего задач: 17]
Даны два набора чисел: a1, ..., an и b1, ..., bn. Расположим числа ak в возрастающем порядке, а числа bk – в убывающем порядке. Получатся наборы
A1 ≤ ... ≤ An, B1 ≥ ... ≥ Bn. Доказать, что max{a1 + b1, ..., an + bn} ≥ max{A1 + B1, ..., An + Bn}.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Внутри квадрата
A1A2A3A4 взята точка P. Из вершины
A1 опущен перпендикуляр на A2P, из A2 — перпендикуляр
на A3P, из A3 — на A4P, из A4 — на
A1P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения)
пересекается в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
n точек расположены в вершинах выпуклого
n-угольника. Внутри этого
n-угольника отметили
k точек. Оказалось, что любые три из
n +
k точек не
лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему
может быть равно число
k?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В пространстве даны точка
O и
n попарно непараллельных прямых. Точка
O
ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек
снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий
все точки, которые могут быть получены таким образом?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из
полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?
Страница:
<< 1 2 3
4 >> [Всего задач: 17]
Фильтр
Решение
