Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78021 (#1)

Темы:	[	Симметрия относительно плоскости	]
Темы:	[	Тетраэдр и пирамида	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?

Прислать комментарий Решение

Задача 78017 (#2)

Темы:	[	Геометрические неравенства	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Даны четыре прямые m₁, m₂, m₃, m₄, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A₁ прямой m₁ проводим прямую, параллельную прямой m₄, до пересечения с прямой m₂ в точке A₂, через A₂ проводим прямую, параллельную m₁, до пересечения с m₃ в точке A₃, через A₃ проводим прямую, параллельную m₂, до пересечения с m₄ в точке A₄ и через точку A₄ проводим прямую, параллельную m₃, до пересечения с m₁ в точке B. Доказать, что OB $\le$ ${\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).

Прислать комментарий Решение

Задача 78018 (#3)

Тема:

[

Системы алгебраических неравенств

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сто положительных чисел C₁, C₂, ..., C₁₀₀ удовлетворяют условиям
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78022 (#4)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Средние величины	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Фазовая плоскость коэффициентов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Известно, что модули всех корней уравнений x² + Ax + B = 0, x² + Cx + D = 0 меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
x² + ½ (A + C)x + ½ (B + D)x = 0 также меньше единицы. A, B, C, D – действительные числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78023 (#5)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]