Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 73541 (#М6)

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Системы линейных уравнений	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,
а какая – минутная?

Прислать комментарий Решение

Задача 73542 (#М7)

Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
Темы:	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Берколайко С.Т.

a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 73543 (#М8)

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце
игры – после того, как все спички будут разобраны, – окажется чётное число спичек.
а) Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть?
б) Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?
в) Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n + 1 и разрешено брать любое число спичек от 1 до m.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110485 (#М9)

[Равногранный тетраэдр]

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 73545 (#М10)

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Теорема Хелли	]
	[	Общие четырехугольники	]
	[	Перпендикуляр и наклонная	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]