Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Решение
Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел. Решение
Убрать все задачи
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO1 = OO2.
РешениеБумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной.
а) В каком отношении делятся диагонали полученного четырёхугольника их
точкой пересечения?
б) Полученный четырёхугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.
РешениеВозрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?
Петя и Вася по очереди красят рёбра $N$-угольной пирамиды: Петя – в красный цвет, а Вася – в зелёный (ребро нельзя красить дважды). Начинает Петя. Выигрывает Вася, если после того, как все рёбра окрашены, из любой вершины пирамиды в любую другую вершину ведёт ломаная, состоящая из зелёных рёбер. В противном случае выигрывает Петя. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?
Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $T$ – точка касания этой окружности со стороной $AC$. Пусть $P$ и $Q$ – ортоцентры треугольников $BAI$ и $BCI$. Докажите, что точки $T$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой.
Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом
целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из
чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное
количество составных чисел.
Полиция задержала 50 человек, из которых 35 – преступники, которые говорят, что захотят, а 15 – свидетели, которые всегда говорят правду. Все задержанные знают, кто преступники. Какое наименьшее число человек достаточно выбрать, чтобы спросив потом у каждого, кто именно преступники, по ответам вычислить хотя бы одного преступника?
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 67288 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67289 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67290 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67291 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67292 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
