Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли произвольный ромб разрезать не более, чем на две части так, чтобы из этих частей сложить прямоугольник?

   Решение

---

Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и записали на ней это число.

а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки?

б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67152  (#1)

Тема:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Сто друзей, среди которых есть Петя и Вася, живут в нескольких городах. Петя узнал расстояние от своего города до города каждого из оставшихся 99 друзей и сложил эти 99 чисел. Аналогично поступил Вася. Петя получил 1000 км. Какое наибольшее число мог получить Вася? (Города считайте точками плоскости; если двое живут в одном и том же городе, расстояние между их городами считается равным нулю.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67153  (#2)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и записали на ней это число.

а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки?

б) Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от двойки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67154  (#3)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Барон Мюнхгаузен утверждает, что нарисовал многоугольник и точку внутри него так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит этот многоугольник на три многоугольника. Может ли барон быть прав?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67155  (#4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Пусть $n$ > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на $n$ клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные $n$ клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на $n$ остаток 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67156  (#5)

Темы:   [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями