Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n — вне ее.

   Решение

---

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

   Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 76]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61422  (#10.071)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10,11

а) Диаграммы Юнга  (4, 1, 1)  и  (3, 3, 0)  не сравнимы, – ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6?

б) Найдите все несравнимые пары наборов для  s = 7.

Про диаграммы Юнга смотри здесь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61423  (#10.072)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть  T_α(x, y, z) ≥ T_β(x, y, z)  для всех неотрицательных x, y, z. Докажите, что  

Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, про показатели смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61424  (#10.073)  [Неравенство Мюрхеда]

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Пусть  α = (α₁, ..., α_n)  и  β = (β₁, ..., β_n)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x₁, ..., x_n  выполняется неравенство  T_α(x₁, ..., x_n) ≥ T_β(x₁, ..., x_n).
Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61425  (#10.074)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Выведите из неравенства Мюрхеда (задача 61424) неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61426  (#10.075)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 76]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями