Версия для печати
Убрать все задачи

---

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, см. рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)

   Решение

---

Потроить треугольник по A, высоте к стороне a h_a и полупериметру p.

   Решение

---

а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что  ABC = B₁C₁A₁.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)

   Решение

---

  Докажите две формулы Муавра. Первая из них дает правило возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме
z = r(cos φ + isin φ):   zⁿ = rⁿ(cos nφ + isin nφ)  (n ≥ 1).
  Вторая позволяет вычислять все n корней n-й степени из данного числа:  

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61085  (#07.021)

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Алгебраическая форма, сопряжение, модуль и т.п. ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Постройте график функции  y(x) = |x + |  с учётом возможных мнимых значений подкоренного выражения (x — произвольное действительное).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61086  (#07.022)

Тема:   [ Преобразования комплексной плоскости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть точка z движется по единичной окружности против часовой стрелки. Опишите движение следующих точек
  а)  2z²;   б)  z + 3z²;   в) 3z + z²;   г)  z ^{– 3};   д)  (z – i)^–1;   е)  (z – 2)^–1;   ж)  Rz + ρzⁿ  (ρ < R).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61087  (#07.023)

Тема:   [ Преобразования комплексной плоскости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами –1 – i,  2 – i,  2 + 2i,  –1 + 2i.  Как при этом ведут себя точки
  a)  z²;   б)  z³;   в)  z^–1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61088  (#07.024)  [Формулы Муавра]

Тема:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

  Докажите две формулы Муавра. Первая из них дает правило возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме
z = r(cos φ + isin φ):   zⁿ = rⁿ(cos nφ + isin nφ)  (n ≥ 1).
  Вторая позволяет вычислять все n корней n-й степени из данного числа:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61089  (#07.025)

Темы:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ] [ Геометрия комплексной плоскости ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 2 Классы: 9,10,11

Докажите, что числа w_k  (k = 0, ..., n – 1),  являющиеся корнями уравнения  wⁿ = z,  при любом  z ≠ 0  располагаются в вершинах правильного n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями