Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число d, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких d это возможно?
б) Эта же задача для квадрата 21×21.

   Решение

---

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

   Решение

---

Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – a, на десяти других – b, и на десяти оставшихся – c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел a, b, c равно нулю.

   Решение

---

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда  a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^p  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60734  (#04.108)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Найдите такое n, чтобы число  10ⁿ – 1  делилось на  а) 7;  б) 13;  в) 91;  г) 819.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60735  (#04.109)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Докажите, что
  а)    делится на 13;
  б)    делится на 17.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60736  (#04.110)  [Малая теорема Ферма]

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда  a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^p  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60737  (#04.111)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число,  p ≠ 2, 5.  Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача 60736), и второе – принцип Дирихле.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60738  (#04.112)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для каких n число  n²⁰⁰¹ – n⁴  делится на 11?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями