ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60735
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что
  а)    делится на 13;
  б)    делится на 17.


Решение

  а) Первый способ.    делится на  111111 = 111·1001,  а 1001 делится на 13.

  Второй способ.  9·1...1 = 1012 – 1  делится на 13 согласно малой теореме Ферма. Поскольку 9 и 13 взаимно просты, то и 1…1 делится на 13.

  б)  9·1...1 = 1016 – 1  делится на 17 согласно малой теореме Ферма. Поскольку 9 и 17 взаимно просты, то и 1...1 делится на 17.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 4
Название Теоремы Ферма и Эйлера
Тема Малая теорема Ферма
задача
Номер 04.109

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .