Версия для печати
Убрать все задачи

---

В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график показательной функции $y=3^x$. Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$?

   Решение

---

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x²ⁿ ± x^2n–1 + x^2n–2 ± x^2n–3 + ... + x⁴ ± x³ + x² ± x + 1 > ½  (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

   Решение

---

Груз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь.)

   Решение

---

Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер?

   Решение

---

В колоде 36 карт, разложенных в таком порядке, что масти периодически чередуются в последовательности: пики, трефы, червы, бубны, пики, трефы, червы, бубны, и т. д. С колоды сняли часть, перевернули её как целое и врезали в оставшуюся. После этого карты снимают по четыре. Доказать, что в каждой четвёрке все масти разные.

   Решение

---

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30378  (#04.023)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

а) Докажите, что  p² – 1  делится на 24, если p – простое число и  p > 3.
б) Докажите, что  p² – q²  делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60650  (#04.024)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60651  (#04.025)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
  а) 8;  б) 32 различных делителя.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60652  (#04.026)

Тема:   [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Докажите, что числа    а)  2³²⁰⁰¹ + 1;     б)  2³²⁰⁰¹ – 1   – составные.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60653  (#04.027)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что
  а)  2⁴¹ + 1  делится на 83;
  б)  2⁷⁰ + 3⁷⁰  делится на 13;
  в)  2⁶⁰ – 1  делится на 20801.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями