На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

   Решение

Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Пусть l_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB₁ и CC₂, BB₂ и CC₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (или параллельны).

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]      

Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P₁, Q₁, R₁ — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP₁, QQ₁ и RR₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A₁, B₁, C₁ середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A₂, B₂, C₂ — точки пересечения прямых AA₁ и BC, BB₁ и AC, CC₁ и AB. Докажите, что точки A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1 (теорема о полном четырехстороннике).

Прислать комментарий

Решение

Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Пусть l_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB₁ и CC₂, BB₂ и CC₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого нечетного n3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2n точек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]