В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)

   Решение

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

   Решение

Решить уравнение  x⁸ + 4x⁴ + x² + 1 = 0.

   Решение

Найти все значения x и y, удовлетворяющие равенству   xy + 1 = x + y.

   Решение

Число p – корень кубического уравнения  x³ + x – 3 = 0.
Придумайте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет число p².

   Решение

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

Прямые  AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на прямой l₁. Докажите, что точки пересечения прямых AB₁ и BA₁, BC₁ и CB₁, CA₁ и AC₁ лежат на одной прямой (Папп).

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]