Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
73546
(#М11)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один – по часовой стрелке, другой – против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.
б) А если чижей и деревьев n?
Задача
58238
(#М12)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
Задача
73548
(#М13)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Если разность между наибольшим и наименьшим из
n данных вещественных чисел
равна d, а сумма модулей всех
n(n – 1)/2 попарных разностей этих чисел
равна s, то
(n – 1)d £ s £ n2d/4.
Докажите это.
Задача
73549
(#М14)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если
а) чёрных граней больше половины;
б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.
Задача
73550
(#М15)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Фильтр
Решение
