ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73549
Темы:    [ Раскраски ]
[ Описанные многогранники ]
[ Выпуклые тела ]
[ Касательные к сферам ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

Решение

Решение. Начнем с задачи б). Предположим, что в многогранник можно вписать шар. Отметим на каждой грани точку касаний с шаром и проведем из нее отрезки к вершинам этой грани. Тогда грань разобьется на треугольники. К каждому ребру многогранника примыкает два таких треугольника, лежащих в смежных гранях. Они равны по трем сторонам (поскольку две касательные, проведенные из одной точки к шару, равны). По условию к каждому ребру примыкает не более одной черной грани. Таким образом, к каждому черному треугольнику примыкает равный ему белый (Но, конечно, к белому треугольнику тоже может примыкать белый– важно лишь, что разным черным треугольникам соответствуют разные белые.) . Следовательно, сумма площадей черных граней не больше суммы площадей белых граней. Задачаб) решена. Точно так же решается и задачаа), о которой уже шла речь в статье "Невписываемые многогранники" Е.М.Андреева (см."Квант" #8, задача 9 в конце статьи). В этой статье разобран целый ряд вопросов, которые возникают в связи с нашей задачей: бывают ли многогранники, удовлетворяющие подобным условиям, какие еще существуют "признаки неописываемости" и т.п. Правда, как можно судить по названию статьи, в ней речь идет о том, можно ли тот или иной многогранник вписать в сферу, а в нашей задаче– можно ли его описать около сферы. Оказывается, однако, что обе теории совершенно аналогичны. Более точно, каждому выпуклому вписанному многограннику можно поставить в соответствие описанный так, что при этом каждой вершине, ребру, грани вписанного многогранника сопоставляется соответственно грань, ребро, вершина описанного. Делается это так. В каждой вершине многогранника, вписанного в сферу, проводится касательная плоскость. Заметьте, что если вершины принадлежали одной грани, то соответствующие им плоскости будут пересекаться в одной точке– вершине нового многогранника, соответствующей грани и сходного вписанного. Если две вершины вписанного многогранника соединены ребром, то соответствующие касательные плоскости будут пересекаться по ребру описанного многогранника. Тем самым мы построили отображение множества вписанных многогранников в множество описанных; легко видеть, что это отображение на все множество описанных многогранников и что у него есть обратное отображение,– другими словами, что каждому описанному многограннику можно сопоставить вписанный, из которого этот описанный получается указанным выше способом. Достаточно в каждой грани отметить точку касания– вершину будущего вписанного многогранника– и доказать, что все точки касания граней, имеющих общую вершину, лежат в одной плоскости (рис.6). Оба эти отображения, связывающие множество выпуклых вписанных и описанных многогранников, составляют прекрасный пример ситуации, которую математики обычно называют словом "двойственность".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М14

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .