Докажите, что множество точек X, обладающих тем свойством, что  k₁A₁X² + ... + k_nA_nX² = c:
а) при  k₁ + ... + k_n 0 является окружностью или пустым множеством;
б) при  k₁ + ... + k_n = 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

   Решение

Теннисист для тренировки играет каждый день хотя бы одну партию; при этом, чтобы не перетрудиться, он играет не более 12 партий в неделю.
Докажите, что можно найти несколько таких подряд идущих дней, в течение которых теннисист сыграл ровно двадцать партий.

   Решение

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны, причём многоугольник B₁...B_n вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника A₁...A_n.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна S, а её периметр равен P, то SP²/4, причём равенство достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны, причём многоугольник B₁...B_n вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника A₁...A_n.

Прислать комментарий

Решение

Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна L, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна S. Докажите, что SL²/2.

Прислать комментарий

Решение

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]