В каждой клетке квадратной таблицы m×m клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше m. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем  ½ m².

   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  BPC = A + 60^o,APC = B + 60^o и  APB = C + 60^o. Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A', B' и C'. Докажите, что треугольник A'B'C' правильный.

   Решение

Доказать, что число, состоящее из 300 единиц и некоторого количества нулей, не является точным квадратом.

   Решение

Через каждую грань куба провели плоскость. На сколько частей разделят пространство данные плоскости?

   Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше 180^o/n.

Прислать комментарий

Решение

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше k.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

Прислать комментарий

Решение

Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

Прислать комментарий

Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]