Задача 79361

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Правильные многоугольники ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

Решение

а) Пусть O – центр правильного пятиугольника ABCDE. Тогда круги, вписанные в углы AOC, BOD, COE, DOA и EOB, обладают требуемым свойством.

б) Рассмотрим для каждого из четырёх кругов угол, образованный касательными к нему, проходящими через точку O. Так как каждый из этих четырёх углов меньше 180°, в сумме они дают меньше 2·360°. Поэтому найдётся точка плоскости, покрытая не более чем одним из этих углов. Луч, проведённый через эту точку, пересекает не более одного круга.

Ответ

а) Можно;   б) нельзя.

Замечания

Ср. с задачей 79365.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	2
Название	Углы и длины
Тема	Принцип Дирихле (углы и длины)
задача
Номер	21.016
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	42
Год	1979
вариант
Класс	7
задача
Номер	1