Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 21. Принцип Дирихле
>>
параграф 2. Углы и длины
Фильтр
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен 120o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен 60o; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и IaO = IaH.
Решение
Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что
A1B1C1 
ABC и O — первая точка
Брокара треугольника A1B1C1.
Решение
Решение
Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем SABP2 + SCDP2 = SBCP2 + SADP2. Докажите, что P — середина одной из диагоналей.
Решение
Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.
Решение
Убрать все задачи
а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен 120o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен 60o; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и IaO = IaH.
РешениеПусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что
РешениеОкружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.
РешениеДиагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем SABP2 + SCDP2 = SBCP2 + SADP2. Докажите, что P — середина одной из диагоналей.
РешениеВнутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
На плоскости дано n попарно непараллельных
прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из
них не больше
180o/n.
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд.
Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k
хорд, то сумма длин хорд меньше 
k.
Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1.
Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную
данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 58093 (#21.014) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 58094 (#21.015) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 79361 (#21.016) |
|
|
На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?
|
|
|
Решение |
Задача 58096 (#21.017) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 58097 (#21.018) |
|
|
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней
мере четыре из этих окружностей.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
