Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 59]

Задача 57716 (#13.034)

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 5
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть S_a — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности S_b, S_c и S_d определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 57717 (#13.035)

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 3
Классы: 9

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $\alpha$ = S_BXC, $\beta$ = S_CXA и $\gamma$ = S_AXB. Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $\alpha$ $\overrightarrow{AA_1}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BB_1}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CC_1}$ равна ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

Прислать комментарий Решение

Задача 57718 (#13.036)

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Выпуклый 2n-угольник A₁A₂...A_2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

| $\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ | $\displaystyle \le$ 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57719 (#13.036B)

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Пусть a₁, a₂, ..., a_{2n + 1} — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂±...±a_{2n + 1} знаки можно выбрать так, что |c| $\le$ 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 57720 (#13.037)

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ ,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 59]