Параграфы:
-
параграф 1. Векторы сторон многоугольников
(10 задач)
параграф 2. Скалярное произведение. Соотношения
(10 задач)
параграф 3. Неравенства
(8 задач)
параграф 4. Суммы векторов
(8 задач)
параграф 5. Вспомогательные проекции
(5 задач)
параграф 6. Метод усреднения
(8 задач)
параграф 7. Псевдоскалярное произведение
(10 задач)
Фильтр
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Даны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.
Решение
Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2
k 50 . Докажите, что можно отметить 2k
вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри 2k -угольника с отмеченными
вершинами.
Решение
Решение
Решение
Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что
Решение
Убрать все задачи
Дана линейка постоянной ширины (т.е. с параллельными краями) и без делений. Постройте биссектрису данного угла.
РешениеДаны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.
РешениеВнутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2
РешениеРасстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов.
Докажите, что середины отрезков четырёх общих касательных этих окружностей лежат на одной прямой.
РешениеПредставим себе большой куб, склеенный из 27 меньших кубиков. Термит садится на центр грани одного из наружных кубиков и начинает прогрызать ход. Побывав в кубике, термит к нему уже не возвращается. Движется он при этом всегда параллельно какому-нибудь ребру большого куба. Может ли термит прогрызть все 26 внешних кубиков и закончить свой ход в центральном кубике? Если возможно, покажите, каким должен быть путь термита.
РешениеВнутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что
SBOC . 
+ SAOC . 
+ SAOB . 
= 
.
Решение
Задачи
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]
Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что
Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим
началом O так, что величина
+ 
остается
постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через
фиксированную точку.
Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена
прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A1,
B1 и C1. Докажите, что
(1/
) + (1/
) + (1/
) = 0 (отрезки MA1, MB1 и MC1 считаются
ориентированными).
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1,
B1 и C1. Отрезки BB1 и CC1, CC1 и AA1, AA1
и BB1 пересекаются в точках A2, B2 и C2 соответственно.
Докажите, что если
+ 
+ 
= 
,
то
AB1 : B1C = CA1 : A1B = BC1 : C1A.
Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть Ha — ортоцентр
треугольника BCD, Ma — середина отрезка AHa;
точки Mb, Mc и Md определяются аналогично. Докажите, что
точки Ma, Mb, Mc и Md совпадают.
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]
Задача 57711 (#13.029) |
|
|
SBOC . + SAOC . + SAOB . = .
|
|
|
Решение |
Задача 57712 (#13.030) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 57713 (#13.031) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57714 (#13.032) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57715 (#13.033) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]
