Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x₁, x₂, ..., x_n, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

   Решение

AB и AC — касательные к одной окружности, BAC = 60^o, длина ломаной BAC равна 1. Найдите расстояние между точками касания B и C.

   Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что = + + . Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что (,) + (,) + (,) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что = + + . Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что OH² = R²(1 - 8 coscoscos).

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X₁, ..., X_n точки X на прямые A₁A₂, ..., A_nA₁. Пусть x_i — длина отрезка A_iX_i с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи A_iX_i и A_iA_{i + 1} сонаправлены). Докажите, что сумма x₁ + ... + x_n равна половине периметра многоугольника A₁...A_n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]