Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1967 год
>>
8 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
РешениеУ людоеда в подвале томятся 25 пленников.
а) Сколькими способами он может выбрать трёх из них себе на завтрак, обед и ужин? Порядок важен.
б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?
РешениеДва шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.
а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?
РешениеГруз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь.)
РешениеТочка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.
РешениеДан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.
Решение
Задачи
Задача 78600 (#1) |
|
|
Существуют ли два таких последовательных натуральных числа, что сумма цифр
каждого из них делится на 125?
Найти наименьшую пару таких чисел или доказать, что их не существует.
|
|
Решение |
Задача 57536 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78602 (#4) |
|
|
Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.
|
|
|
Решение |
Задача 78603 (#3) |
|
|
Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.
|
|
|
Решение |
Задача 78604 (#5) |
|
|
Остап Бендер организовал в городе Фуксе раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов, причём Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну – не членам. Оказалось, что существует лишь один способ такой раздачи (так, чтобы раздать всех слонов). Какое наибольшее число слонов могло быть у О. Бендера? (Предполагается, что каждому из пришедших достался хотя бы один слон.)
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
