ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 9. Геометрические неравенства
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?

Вниз   Решение

Авторы: Толпыго А.К., Шаповалов А.В.

Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю 29 карточек с номерами от 1 до 29. Зритель прячет две карточки, а остальные отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

ВверхВниз   Решение

Дано:

a1 = 1966, ak = $\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right.$$\displaystyle \sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right]$.

Найти a1966.

ВверхВниз   Решение

Внутри треугольника ABC периметра P взята точка O. Докажите, что  P/2 < AO + BO + CO < P.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 103]      

  с решениями  

Задача 57329  (#09.025)

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8

Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78038  (#09.025B)

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан $ \Delta$ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57331  (#09.026)

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8

Точки  C1, A1, B1 взяты на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC так, что  BA1 = $ \lambda$ . BC, CB1 = $ \lambda$ . CA, AC1 = $ \lambda$ . AB, причем  1/2 < $ \lambda$ < 1. Докажите, что периметр P треугольника ABC и периметр P1 треугольника A1B1C1 связаны неравенствами  (2$ \lambda$-1)P < P1 < $ \lambda$P.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57332  (#09.027)

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8

а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57333  (#09.028)

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8

Внутри треугольника ABC периметра P взята точка O. Докажите, что  P/2 < AO + BO + CO < P.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 103]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .