Информация о задаче

Задача 78597

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Иррациональные неравенства	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дано:

a₁ = 1966, a_k = $\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right.$ $\displaystyle \sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right]$ .

Найти a₁₉₆₆.

Решение

Докажем по индукции, что начальный отрезок нашей последовательности равен 1966, 44, 44, 45, 45, .. , где после числа 1966 каждое натуральное число, большее 43, встречается ровно 2 раза подряд, кроме чисел вида 74· 2^k , которые встречаются 3 раза подряд (сравни с решением задачи 78594 ). Пусть мы уже доказали, что начальный отрезок нашей последовательности имеет требуемый вид 1966,44,44,45,45,..n-1,n-1,n,n . Найдем ее следующий член. Возьмем наименьшее k для которого 74· 2^k>n . Сумма выписанных чисел равна s=1966+2(44+45+..n)+74+2· 74+..2^k-1· 74=(n-43)(n+44)+2^k· 74+44²=n²+n+2^k· 74 . Если n=2^k· 74 , то (n)² s<(n+1)² , то есть следующий член последовательности равен n . Иначе n+1 2^k· 74 2n , и (n+1)² s<(n+2)² , то есть следующий член последовательности равен n+1 . Аналогично находятся следующие члены последовательностей 1966,44,44,1,.. n-1,n и 1966,44,44,.. n-1,n, n, n . Из явного вида последовательности число a1966 находится простым подсчетом.

Ответ

1024

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	29
Год	1966
вариант
	1
Класс	9,10,11
Тур	2
задача
Номер	2