-
Вводные задачи
(4 задачи)
параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники
(20 задач)
параграф 2. Четырехугольники
(16 задач)
параграф 3. Теорема Птолемея
(11 задач)
параграф 4. Пятиугольники
(4 задачи)
параграф 5. Шестиугольники
(6 задач)
параграф 6. Правильные многоугольники
(24 задачи)
параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники
(10 задач)
параграф 8. Произвольные выпуклые многоугольники
(5 задач)
параграф 9. Теорема Паскаля
(10 задач)
Фильтр
Выбрано 2 задачи Убрать все задачи
а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
РешениеПравильный n-угольник A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O,
ei = , x =
– произвольный вектор.
Докажите, что Σ (ei, x)² = ½ nR²·OX².
Решение
Задачи
Задача 57080 (#06.067) |
|
|
Правильный многоугольник A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что A1X² + ... + AnX² = n(R² + d²), где d = OX.
|
|
Решение |
Задача 61158 (#06.068) |
|
|
Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.
|
|
|
Решение |
Задача 57082 (#06.069) |
|
|
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X – центр n-угольника.
|
|
|
Решение |
Задача 57083 (#06.070) |
|
|
Правильный n-угольник A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O,
ei = , x =
– произвольный вектор.
Докажите, что Σ (ei, x)² = ½ nR²·OX².
|
|
|
Решение |
Задача 57084 (#06.071) |
|
|
Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.
|
|
|
Решение |
Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 110]
