На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь треугольника ABC.

   Решение

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

   Решение

На стороне AC треугольника ABC взята точка D так, что AD:DC=1:2 . Докажите, что у треугольников ADB и CDB есть по равной медиане.

   Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

Точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC.
а) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны и антипараллельны сторонам AB, BC и CA, то точки A₁, B₂, B₁, C₂, C₁, A₂ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана) .
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность Лемуана).

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC. Докажите, что K — точка пересечения медиан треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точки Лемуана K треугольника ABC на стороны BC, CA и AB. Докажите, что медиана AM треугольника ABC перпендикулярна прямой B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]