Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

   Решение

Даны положительные числа h, s₁, s₂ и расположенный в пространстве треугольник ABC. Сколькими способами можно выбрать точку D так, чтобы в тетраэдре ABCD высота, опущенная из вершины D, была равна h, а площади граней ACD и BCD соответственно s₁ и s₂ (исследовать все возможные случаи)?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁ и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что AK = BC₁ и AL = CB₁. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      

На сторонах BC и DC параллелограмма ABCD выбраны точки D₁ и B₁ так, что BD₁ = DB₁. Отрезки BB₁ и DD₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что AQ — биссектриса угла BAD.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁ и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что AK = BC₁ и AL = CB₁. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

Прислать комментарий

Решение

Медианы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что если четырехугольник A₁BC₁M описанный, то AB = BC.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через  d_a, d_b, d_c, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через  R_a, R_b, R_c. Докажите, что:
а)  aR_a cd_c + bd_b;
б)  d_aR_a + d_bR_b + d_cR_c 2(d_ad_b + d_bd_c + d_cd_a);
в)  R_a + R_b + R_c 2(d_a + d_b + d_c) (Эрдёш-Морделл);
г)  R_aR_bR_c (R/2r)(d_a + d_b)(d_b + d_c)(d_c + d_a).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]