Условие
Медианы
AA1 и
CC1 треугольника
ABC пересекаются
в точке
M. Докажите, что если четырехугольник
A1BC1M
описанный, то
AB =
BC.
Решение
Так как четырехугольник
A1BC1M описанный, то,
во-первых, суммы длин его противоположных сторон равны:
+
=
+
,
а во-вторых, его вписанная окружность является одновременно
вписанной окружностью треугольников
AA1B и
CC1B, имеющих
к тому же равные площади, поэтому периметры этих треугольников
равны:
c +
ma +
=
a +
mc +
. Умножая первое равенство
на 3 и складывая его со вторым, получаем требуемое.
Источники и прецеденты использования
