Задача 56808

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁ и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что AK = BC₁ и AL = CB₁. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

Решение

Достаточно проверить, что  S_AKO = S_ALO, т. е.  AO ^. AL sin OAL = AO ^. AK sin OAK. Ясно, что  AL = CB₁ = BC cos C, sin OAL = cos B, AK = BC₁ = BC cos B и  sin OAK = cos C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	8
Название	Вспомогательная площадь
Тема	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер	04.056