Версия для печати
Убрать все задачи

---

Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ вторично пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Точки $A_2$, $B_2$; $C_2$ – середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.

   Решение

---

На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 209]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30310  (#04.016)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Целочисленные решетки ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30312  (#04.017)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Взвешивания ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35111  (#04.018)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60645  (#04.019)

Темы:   [ Инварианты ] [ Таблицы и турниры (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки  +  и  – ,   как показано на рисунке.

Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60646  (#04.020)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В пробирке находятся марсианские амёбы трёх типов A, B и C. Две амёбы любых двух разных типов могут слиться в одну амёбу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амёба. Каков её тип, если исходно амёб типа A было 20 штук, типа B – 21 штука и типа C – 22 штуки?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 209]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями