|
|
 |
Условие
Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.
Подсказка
Докажите, что улитка ползла одинаковое число участков в каждом из четырёх направлений.
Решение
Назовём путь, который улитка проделывает за 15 минут, шагом. Можно считать, что эти шаги она делает по горизонтали (вправо и влево) и по вертикали (вверх и вниз). Число шагов вправо равно числу шагов влево (так как улитка вернулась в исходную точку). Следовательно, число горизонтальных шагов чётно. Но после каждого горизонтального шага следует вертикальный и наоборот. Поэтому число вертикальных шагов равно числу горизонтальных (общее число шагов чётно). Поскольку сумма двух равных чётных чисел делится на 4, улитка вернется в исходную точку через целое число часов.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: "АСА" |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 029 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 20 |
| Год | 1957 |
| вариант | |
| Класс | 8 |
| Тур | 1 |
| задача | |
| Номер | 2 |
| книга | |
| Автор | Иванов С.В. |
| Название | Математический кружок |
| глава | |
| Номер | 1 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 05 |
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 4 |
| Название | Арифметика остатков |
| Тема | Деление с остатком. Арифметика остатков |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 04.016 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 20 |
| Год | 1957 |
| вариант | |
| Класс | 7 |
| Тур | 1 |
| задача | |
| Номер | 3 |
| Кружок | |
| Название | Кировская ЛМШ |
| класс | |
| Класс | 6 |
| год | |
| Год | 2000 год |
| Место проведения | Вишкиль |
| занятие | |
| Номер | Чётность-1 |
| Название | Чётность-1 |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 09 |
