Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию   2(a + b + c + d) ≥ abcd.   Докажите, что  a² + b² + c² + d² ≥ abcd.

   Решение

Пусть x₁, x₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 и S_n = x₁ⁿ + x₂ⁿ ( n 0). Докажите формулу

aS_m + bS_{m - 1} + cS_{m - 2} = 0,        (m 2).

   Решение

B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке P, и SP является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки P на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

   Решение

Квадратная площадь размером 100×100 выложена квадратными плитами 1×1 четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого – так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

Известно, что  a + b + c = 5  и  ab + bc + ac = 5.  Чему может равняться  a² + b² + c²?

Прислать комментарий

Решение

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Прислать комментарий

Решение

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

Прислать комментарий

Решение

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Квадратная площадь размером 100×100 выложена квадратными плитами 1×1 четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого – так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]