ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 4. Арифметика остатков >> параграф 1. Четность
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?

Вниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2 из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2).


ВверхВниз   Решение

Целое число. Доказать, что если - целое число, то - тоже целое число.

ВверхВниз   Решение

Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

Задача 30291  (#04.011)

Тема:   [ Четность и нечетность ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7

Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60638  (#04.012)

Тема:   [ Четность и нечетность ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел a и b из одного множества число  ab – 1  принадлежало другому?

Прислать комментарий     Решение

Задача 58172  (#04.013)

Темы:   [ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан выпуклый 2n-угольник A1...A2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A1,..., A2n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35075  (#04.014)

Тема:   [ Четность и нечетность ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

Прислать комментарий     Решение

Задача 30305  (#04.015)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .