|
|
 |
Условие
К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.
Решение
Пусть это не так. Поскольку в 9-м разряде складываются одинаковые цифры, то из 8-го разряда в 9-й был перенос. Значит, сумма цифр в 8-м (и, следовательно, в 10-м) разряде больше 10, поэтому из 10 разряда в 11-й был перенос. Следовательно, сумма цифр в 11-м (и, следовательно, в 7-м) разряде чётна. Значит, из 6-го разряда в 7-й (и из 12-го в 13-й) был перенос.
Продолжая аналогично, получим, что был перенос из 16-го разряда в 17-й. Но сумма цифр в 17-м (как и в 1-м) разряде нечётна. Противоречие.
Замечания
Утверждение верно для всех чисел из 4n + 1 цифры. Для чисел с чётным количеством цифр или с 4n + 3 цифрами утверждение неверно:
11112222 + 22221111 = 33333333, 72727262626 + 62626272727 = 135353535353.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 4 |
| Название | Арифметика остатков |
| Тема | Деление с остатком. Арифметика остатков |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 04.015 |
| книга | |
| Автор | Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. |
| Год издания | 1994 |
| Название | Ленинградские математические кружки |
| Издательство | Киров: "АСА" |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 024 |
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1970 |
| выпуск | |
| Номер | 9 |
| Задача | |
| Номер | М42 |
