Версия для печати
Убрать все задачи
Точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$.
Решение
Коля и Макс живут в городе с треугольной сеткой дорог (см. рисунок). В этом городе передвигаются на велосипедах, при этом разрешается поворачивать только налево. Коля поехал в гости к Максу и по дороге сделал ровно 4 поворота налево. На следующий день Макс поехал к Коле и приехал к нему, совершив только один поворот налево. Оказалось, что длины их маршрутов одинаковы. Изобразите, каким образом они могли ехать (дома Коли и Макса отмечены).
Решение
Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано на рисунке
а) слева; б) в центре; в) справа?
(Во всех пунктах разрез лежит внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза идут по линиям сетки, маленькие звенья в два раза короче больших.)
Решение
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа
a и
b и заменить их суммой
ab +
a +
b. Какое число может получиться после 19 таких операций?
Решение
Даны
n комплексных чисел
C1,
C2,...,
Cn, таких, что если их
представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого
n-угольника. Доказать, что если комплексное число
z обладает тем свойством,
что
то точка плоскости, соответствующая
z, лежит внутри этого
n-угольника.
Решение
Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
Решение
Все источники
>>
Кружки, факультативы, спецкурсы
>>
ВМШ 57 школы
>>
8 класс
>>
1998/99
>>
10. Четность
