Задача 33138

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

На доске написаны числа
  а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;
  б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;
  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.
Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Решение

а) См. решение задачи 30303.

б) Сначала сотрём 2 и 3, потом 4 и 5, 6 и 7, ..., 1998 и 1999. На доске останется 1000 единиц. Стирая их попарно, получим 500 нулей. Дальнейшее очевидно.

в) Сначала сотрём 1 и 2, потом 3 и 4, ..., 1999 и 2000. На доске останется 1000 единиц. Далее см. б).

Ответ

а) Нельзя;  б)-в) можно.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	8
год
Год	1998/99
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	10
Название	Четность
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	05