Версия для печати
Убрать все задачи
Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает семь различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться.
Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?
Решение
К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.
Решение
Все рёбра правильной треугольной призмы
ABCA1
B1
C1
равны
a . Рассматриваются отрезки с концами на диагоналях
BC1
и
CA1
боковых граней, параллельные плоскости
ABB1
A1
.
1) Один из этих отрезков проведён через точку
M диагонали
BC1
, для которой
BM:BC1
= 1
:3
. Найдите его длину.
2) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
Решение
Про натуральные числа $x$, $y$ и $z$ известно, что $\operatorname{НОД}(x,y,z) = 1$ и $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$. Докажите, что $x$, $y$ и $z$ – квадраты натуральных чисел.
Решение
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Решение
Фильтр
