Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
2013 год
>>
11 класс. Первый день
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны углы $CAB$, $BCA$, $ECD$, $DEC$ и $AEC$. Докажите, что середина $BD$ лежит на $CE$.
РешениеДля игры «Отравленный пирог» используется прямоугольный пирог, разделенный на M «строк» горизонтальными разрезами и на N «столбцов» – вертикальными. Таким образом, пирог должен быть разбит на M × N клеток, правая нижняя из которых «отравлена». Играют двое игроков, ходы делаются по очереди. Каждый ход заключается в том, что игрок выбирает одну из еще не съеденных клеток пирога и съедает все клетки, расположенные левее и выше выбранной (в том числе и выбранную). Проигрывает тот, кто съедает отравленную клетку.
Требуется написать программу, которая по заданной игровой позиции
определяет все возможные выигрышные ходы для начинающего в этой позиции.
Входные данные
Данные во входном файле расположены в следующем порядке: M, N
(1 ≤ M, N ≤ 9), X1, ..., XM. Здесь Xi
– число оставшихся клеток в i-м снизу горизонтальном ряду. Все числа во входном файле разделяются пробелами
и/или символами перевода строки.
Выходные данные
В первую строку выходного файла необходимо вывести количество различных
выигрышных ходов К, а в последующие K строк – сами выигрышные ходы.
Каждый ход задается парой чисел (i, j), где i – номер (снизу) горизонтального
ряда, а j – номер (справа) вертикального ряда, которому принадлежит
выбранная клетка (1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N).
Пример входного файла
3 5
5 4 3
Пример выходного файла
1
3 1
РешениеМожно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади?
(Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам
окружностей.)
РешениеНайдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством: 7p + 1 делится на q, а 7q + 1 делится на p.
Решение
Задачи
Задача 116977 (#1) |
|
|
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.
Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
|
|
Решение |
Задача 116979 (#2) |
|
|
Найдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством: 7p + 1 делится на q, а 7q + 1 делится на p.
|
|
|
Решение |
Задача 116249 (#3) |
|
|
Дан такой выпуклый четырехугольник ABCD, что AB = BC и AD = DC. Точки K, L и M – середины отрезков AB, CD и AC соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BC, пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки C к прямой AD, в точке H. Докажите, что прямые KL и HM перпендикулярны.
|
|
|
Решение |
Задача 116250 (#4) |
|
|
Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?
|
|
|
Решение |
Задача 116251 (#5) |
|
|
Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
