Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему.

   Решение

---

Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.

   Решение

---

Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если:
  а) никакая цифра не повторяется более одного раза;
  б) повторения цифр допустимы;
  в) числа должны быть нечётными и повторений цифр быть не должно?

   Решение

---

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111804  (#08.4.10.3)

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111805  (#08.4.10.4)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Последовательность (a_n) задана условиями a₁= 1000000 , a_n+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111806  (#08.4.10.5)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111807  (#08.4.10.6)

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111808  (#08.4.10.7)

Темы:   [ Средние величины ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями