|
|
 |
Условие
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если AB = AE = ED = 1, то BC + CD < 1.
Решение
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке K, а прямые BC и ED – в точке M, ∠BAE = α, ∠DEA = β. На луче BC отложим отрезок BN = AB = 1.
Если α + β = 180°, то ABDE – параллелограмм. Тогда DK и BM – его высоты, проведённые к противоположным сторонам. Значит, они не могут пересекаться в точке C. Если α + β > 180°, то C и точка P пересечения прямых AB и DE лежат по разные стороны от прямой BD. Точка K лежит на продолжении стороны DC за вершину C, поэтому K и P лежат по разные стороны от прямой BD. Значит, PBM – внешний угол прямоугольного треугольника BKC. Следовательно, ∠PBM > 90°. С другой стороны, поскольку PBM – острый угол прямоугольного треугольника
PBM, то ∠PBM < 90°, что невозможно.
Таким образом, α + β < 180°. Тогда один из углов α и β (пусть α) меньше 90°. Сумма углов четырёхугольника ABME равна 360°, поэтому
∠ABM = 360° – 90° – α – β =
270° – α – β.
Из равнобедренных треугольников ABN и ADE ∠
BAN = ½ (180° – ∠ABN) = ½ (180° – ∠ABM) = ½ (α + β – 90°),
∠DAE = ½ (180° – ∠DEA) = ½ (180° – β).
Следовательно, ∠BAN + ∠DAE = ½ (90° + α) > α = ∠BAE.
Это значит, что точка D лежит внутри треугольника ABN.
Пусть прямые CD и AN пересекаются в точке S. В треугольнике CNS угол CNS – острый (как угол при основании равнобедренного треугольника ABN ), а угол NSC – тупой (как внешний угол прямоугольного треугольника AKS). Значит, CS < CN. Поэтому BC + CD < BC + CS < BC + CN = BN = 1.
