Пусть  A₁, B₁, C₁ и D₁ — середины сторон  CD, DA, AB, BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми  AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.

   Решение

Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и натуральные числа $m$ и $n$ со свойством: $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$. Не ошибается ли барон?

   Решение

Назовём натуральное семизначное число удачным, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?

   Решение

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства  ^a/_c = ^b/_d = ^ab+1/_cd+1.  Докажите, что  a = c  и  b = d.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол C – прямой. На стороне AC нашлась такая точка D, а на отрезке BD – такая точка K, что  ∠B = ∠KAD = ∠AKD.
Докажите, что  BK = 2DC.

Прислать комментарий

Решение

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]