Задача 110144
|
|
 |
Условие
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
Решение
Пусть a/c = b/d = ab+1/cd+1 = 1/r (то есть c = ra, b = rd). Тогда или rab + r = r²ab + 1. Отсюда (rab – 1)(r – 1) = 0, то есть либо r = 1 (и тогда a = c и b = d), либо rab = 1.
Но rab = cb = 1, то есть c = b = 1; аналогично a = d = 1. В обоих случаях a = c и b = d.
