Версия для печати
Убрать все задачи

---

Два маляра красят забор, огораживающий дачные участки. Они приходят через день и красят по одному участку (участков 100 штук) в красный или зелёный цвет. Первый маляр дальтоник и путает цвета, он помнит, что и в какой цвет он сам покрасил, и видит, что покрасил второй маляр, но не знает, в какой цвет. Первый маляр добивается того, чтобы в наибольшем числе мест зелёный участок граничил с красным. Какого наибольшего числа переходов он может добиться (как бы ни действовал второй маляр)?

Замечание. Считается, что дачные участки расположены в одну линию.

   Решение

---

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110024  (#00.4.11.1)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110025  (#00.4.11.2)

Темы:   [ Цилиндр ] [ Покрытия ] [ Шар и его части ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110026  (#00.4.11.3)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110034  (#00.4.11.4)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Уравнения в целых числах ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

При каком наименьшем n квадрат n×n можно разрезать на квадраты 40×40 и 49×49 так, чтобы квадраты обоих видов присутствовали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110027  (#00.4.11.5)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Для неотрицательных чисел x и y, не превосходящих 1, докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями