Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклом n-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на выпуклые многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с самым большим числом сторон.
Сколько сторон он может иметь?

   Решение

---

На вершине лесенки, содержащей N ступенек, находится мячик, который начинает прыгать по ним вниз, к основанию. Мячик может прыгнуть на следующую ступеньку, на ступеньку через одну или через 2. (То есть, если мячик лежит на 8-ой ступеньке, то он может переместиться на 5-ую, 6-ую или 7-ую.) Определить число всевозможных "маршрутов" мячика с вершины на землю.
Формат входных данных
Одно число 0 < N < 31.
Формат выходных данных
Одно число — количество маршрутов.

   Решение

---

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.

   Решение

---

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109952  (#98.4.9.3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Задачи с ограничениями ] [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Назовём десятизначное число интересным, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109953  (#98.4.9.4)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Связность. Связные множества ] [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Имеется квадрат клетчатой бумаги размером 102×102 клетки и связная фигура неизвестной формы, состоящая из 101 клетки. Какое наибольшее число таких фигур можно с гарантией вырезать из этого квадрата? Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединить цепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109954  (#98.4.9.5)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109955  (#98.4.9.6)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На концах клетчатой полоски размером 1×101 клеток стоят две фишки: слева – фишка первого игрока, справа – второго. За ход разрешается сдвинуть свою фишку в направлении противоположного края полоски на 1, 2, 3 или 4 клетки. При этом разрешается перепрыгивать через фишку соперника, но запрещается ставить свою фишку на одну клетку с ней. Выигрывает тот, кто первым достигнет противоположного края полоски. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109956  (#98.4.9.7)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями