Задача 109956

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

Решение

  Обозначим траекторию шара B₁B₂...B₁₉₉₈B₁, где B₁ – середина A₁A₂. Также обозначим  α = ∠ B₂B₁A₂  (угол, под которым пустили шар),
φ = ∠B₁A₂B₂ = ^1996π/₁₉₉₈  – угол правильного 1998-угольника,  β = π – α – φ = ∠B₁B₂A₂ (см. рис.).

  По закону отражения  ∠B₃B₂A₃ = β.  Из треугольника B₂A₃B₃  ∠B₂B₃A₃ = π – β – φ = α,  снова по закону отражения  ∠B₄B₃A₄ = α,  и т.д., наконец
∠ B₁₉₉₈B₁A₁ = α.  В результате получаем, что все треугольники B₁A₂B₂, B₂A₃B₃, ..., B₁₉₉₈A₁B₁ имеют углы α, β, φ и, следовательно, подобны друг другу. Пусть      – отношение соответствующих сторон в этих подобных треугольниках.

  Имеем:  k·B₂A₂ = B₁A₂,  k·B₂A₃ = B₃A₃,  k·B₁₉₉₈A₁ = B₁A₁.  Сложив эти равенства, получим:  k(A₂A₃ + A₄A₅ + ... + A₁₉₉₈A₁) = A₁A₂ + A₃A₄ + ... + A₁₉₉₇A₁₉₉₈,  откуда  k = 1  в силу правильности многоугольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Значит, все треугольники B₁A₂B₂, B₂A₃B₃, ..., B₁₉₉₈A₁B₁ – равнобедренные, и точки B₂, ..., B₁₉₉₈ – середины соответствующих сторон многоугольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Это доказывает правильность многоугольника B₁B₂...B₁₉₉₈ (см. задачу 55719).

Замечания

См. также решение 2 задачи 78287, где единственность угла, под которым можно выпустить шар из начальной точки, доказана другим способом.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	98.4.9.7