Версия для печати
Убрать все задачи
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Решение
Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?
Решение
Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается
или понижается на n%, где n – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?
Решение
а) Докажите, что число точек пересечения двух замкнутых ломаных на плоскости, находящихся в общем положении, чётно.
б) Верно ли это для замкнутых ломаных, нарисованных на поверхности оконной рамы?
Решение
В треугольнике ABC угол C равен 75°, а угол B равен 60°. Вершина M равнобедренного прямоугольного треугольника BCM с гипотенузой BC расположена внутри треугольника ABC. Найдите угол MAC.
Решение
Окружности
S1 и
S2 касаются внешним образом в точке
F .
Прямая
l касается
S1 и
S2 в точках
A и
B соответственно. Прямая, параллельная прямой
l , касается
S2 в точке
C и пересекает
S1 в двух точках.
Докажите, что точки
A ,
F и
C лежат на одной прямой.
Решение
У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22×15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5. Как это сделать?
Решение
Предложите способ измерения диагонали обычного кирпича, который легко реализуется на практике (без теоремы Пифагора).
Решение
Все источники
>>
Кружки, факультативы, спецкурсы
>>
Кружки МЦНМО
>>
7 класс
>>
2004/2005
>>
Занятие 15. Разные задачи
