Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]

Задача 73776 (#М241)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Мейзус С.И.

Сумма 3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴ делится на 13. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73778 (#М243)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73779 (#М244)

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны два набора из n вещественных чисел: a₁, a₂, ..., a_n и b₁, b₂, ..., b_n. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из a_i < a_j следует, что b_i ≤ b_j;
б) из a_i < a < a_j, где a = ¹/_n (a₁ + a₂ + ... + a_n), следует, что b_i ≤ b_j,
то верно неравенство n(a₁ b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n) ≥ (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 73780 (#М245)

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Симметрия относительно плоскости	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек M_i и M_j, где i и j — любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния r_ij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]