|
|
 |
Условие
Даны два набора из n вещественных чисел: a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из ai < aj следует, что bi ≤ bj;
б) из ai < a < aj, где a = 1/n (a1 + a2 + ... + an), следует, что bi ≤ bj,
то верно неравенство n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).
Решение
б) Предположим, что при некоторых значениях a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn выполняется неравенство
n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) < (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn). (1)
Если не все ai равны между собой, то найдутся такие ai и aj, что ai < a < aj. Рассмотрим числа a и ai + aj – a; большим из этих чисел заменим aj, а меньшим ai (при этом ai увеличивается, а aj уменьшается, причём на одну и ту же величину Δ > 0, так что Ai = ai + Δ, Aj = aj – Δ).
Новые наборы {Ai}, {bi} по-прежнему будут удовлетворять условию задачи. Если в новом наборе {Ai} не все числа оказываются одинаковыми, то снова проделаем указанную выше операцию и т.д. После конечного числа шагов мы получим набор, в котором уже все числа {ai} равны a. Поскольку на каждом шаге правая часть неравенства (1) не менялась (Aj + Ai = ai + aj), а левая убывала
(Aibi + Ajbj = (ai + Δ)bi + (aj – Δ)bj = aibi + ajbj + Δ(bi – bj) < aibi + ajbj, так как bi – bj < 0, а Δ > 0), то и для последнего набора неравенство (1) должно выполняться. Но если все ai равны a, то и левая и правая части неравенства (1) одинаковы и равны na(b1 + ... + bn). Противоречие.
