Версия для печати
Убрать все задачи

---

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

---

Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65180  (#10.4.2)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник АВС. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники АВ₁С и ВА₁С с одинаковыми углами α при их основаниях АС и ВС. Перпендикуляр, проведённый из вершины С к отрезку А₁В₁ пересекает серединный перпендикуляр к стороне АВ в точке С₁. Найдите угол АС₁В.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65182  (#10.4.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 16y + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65183  (#10.5.1)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Разложение на множители ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите все натуральные  n > 2,  для которых многочлен  xⁿ + x² + 1  делится на многочлен  x² + x + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65184  (#10.5.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65185  (#10.5.3)

Темы:   [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями